Ecco alcune domande sul teorema di Pitagora con le relative soluzioni:
Domanda 1: Un triangolo rettangolo ha un cateto di 5 cm e l’ipotenusa di 13 cm. Qual è la lunghezza dell’altro cateto?
Soluzione: Ancora una volta, utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo risolvere questo problema.
L’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Quindi, in questo caso, avremo 13^2 = 5^2 + x^2, dove x rappresenta la lunghezza dell’altro cateto.
Risolvendo l’equazione otteniamo 169 = 25 + x^2.
Sottraendo 25 da entrambi i lati otteniamo x^2 = 144.
Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati, otteniamo x = 12.
Quindi, la lunghezza dell’altro cateto è 12 cm.
Domanda 2: Un triangolo rettangolo ha una lunghezza dell’ipotenusa di 10 cm e una lunghezza di un cateto di 6 cm. Qual è la lunghezza dell’altro cateto?
Soluzione: Utilizzando il teorema di Pitagora, otteniamo che 10^2 = 6^2 + x^2, dove x rappresenta la lunghezza dell’altro cateto.
Risolvendo l’equazione otteniamo 100 = 36 + x^2. Sottraendo 36 da entrambi i lati otteniamo x^2 = 64.
Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati, otteniamo x = 8.
Quindi, la lunghezza dell’altro cateto è di 8 cm.
Esempio 3: Un giardiniere sta cercando di installare un percorso diagonale in un giardino rettangolare. La lunghezza del giardino è di 8 metri e la larghezza è di 6 metri. Quanto sarà lungo il percorso diagonale?
Soluzione: Possiamo considerare il percorso diagonale come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo che l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Quindi, ipotenusa^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100. Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati, otteniamo ipotenusa = √100 = 10 metri. Quindi, il percorso diagonale sarà lungo 10 metri.
Esempio 4: Un’asta di legno è appoggiata su una parete verticale, formando un angolo di 60 gradi con il pavimento. L’asta tocca il pavimento a una distanza di 5 metri dalla parete. Quanto è lunga l’asta?
Soluzione: Possiamo considerare l’asta come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, con la parete come cateto verticale e il pavimento come cateto orizzontale.
Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo che l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Quindi, ipotenusa^2 = cateto_verticale^2 + cateto_orizzontale^2. Nel nostro caso, il cateto_verticale corrisponde all’altezza della parete e il cateto_orizzontale è la distanza tra la parete e il punto di contatto dell’asta con il pavimento.
Poiché l’angolo tra l’asta e il pavimento è di 60 gradi, il cateto_orizzontale è uguale alla metà della lunghezza dell’asta. Quindi, cateto_orizzontale = 5 metri / 2 = 2,5 metri. Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo ipotenusa^2 = cateto_verticale^2 + (2,5 metri)^2. Per risolvere l’equazione, dobbiamo conoscere la lunghezza del cateto_verticale. Supponiamo che l’altezza della parete sia 4 metri.
Quindi, ipotenusa^2 = 4 metri^2 + (2,5 metri)^2 = 16 metri^2 + 6,25 metri^2 = 22,25 metri^2. Prendendo la radice quadrata di entrambi i lati, otteniamo ipotenusa = √22,25 metri ≈ 4,71 metri. Quindi, l’asta è lunga circa 4,71 metri.
Esempio 5: Un’auto si sta avvicinando a un incrocio a una velocità di 50 km/h. Il conducente vede un ostacolo a 30 metri di distanza. Quanto tempo ha il conducente per reagire prima di raggiungere l’ostacolo?
Soluzione: Possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per calcolare la distanza percorsa dall’auto prima di raggiungere l’ostacolo.
La distanza percorsa sarà l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, con il tempo di reazione del conducente come cateto orizzontale e la velocità dell’auto come cateto verticale.
Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo che l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti.
Quindi, ipotenusa^2 = cateto_orizzontale^2 + cateto_verticale^2. Nel nostro caso, il cateto_orizzontale corrisponde al tempo di reazione del conducente e il cateto_verticale è la distanza percorsa dall’auto.
Possiamo calcolare il tempo di reazione del conducente dividendo la distanza dall’auto per la velocità dell’auto: tempo_reazione = distanza / velocità = 30 metri / (50 km/h) ≈ 0,6 ore.
Convertendo l’ora in secondi, otteniamo tempo_reazione ≈ 0,6 ore * 3600 secondi/ora = 2160 secondi.
Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo ipotenusa^2 = (2160 secondi)^2 + (30 metri)^2.
Risolvendo l’equazione, otteniamo ipotenusa ≈ 2165,5 metri. Quindi, il conducente ha circa 2165,5 metri di distanza per reagire prima di raggiungere l’ostacolo.
Domanda 6: Un aeroplano sta volando a un’altitudine di 10.000 metri. L’angolo di elevazione dal punto di osservazione sul terreno è di 30 gradi. Qual è la distanza orizzontale tra il punto di osservazione e l’aeroplano?
Soluzione: Possiamo considerare la distanza orizzontale come il cateto adiacente dell’angolo di elevazione, mentre l’altitudine dell’aeroplano sarà il cateto opposto.
Utilizzando la relazione trigonometrica del coseno, possiamo calcolare la distanza orizzontale come cateto_opposto / cos(angolo_di_elevazione).
Quindi, la distanza orizzontale sarà 10.000 metri / cos(30 gradi). Calcolando il cos(30 gradi), otteniamo una distanza orizzontale di circa 11.547 metri.
Domanda 7: Una scala di 6 metri è appoggiata contro una parete. Se la base della scala è distante 4 metri dalla parete, qual è l’altezza raggiunta dalla scala?
Soluzione: Possiamo considerare l’altezza raggiunta dalla scala come il cateto opposto di un triangolo rettangolo, mentre la distanza tra la base della scala e la parete sarà il cateto adiacente. Utilizzando il teorema di Pitagora, otteniamo che l’altezza raggiunta dalla scala sarà la radice quadrata di (6 metri)^2 – (4 metri)^2. Risolvendo l’equazione, otteniamo che l’altezza raggiunta dalla scala è di circa 2,83 metri.
Spero che queste domande e soluzioni ti abbiano aiutato a esercitarti con il teorema di Pitagora! Se hai altre domande, non esitare a chiedere.